根据您的情况，您可以同时申请桥梁工签以确保您的工作身份不会失效。尽管申请桥梁工签也需要录指纹，但这是为了满足移民局的要求，以核实您的身份信息。同时申请桥梁工签可以保证您在当前工签快要过期时仍有合法身份居留在加拿大。请注意，封闭式工签的申请可能因为疫情而被延迟处理，因此尽管公司已经帮助您申请了封闭式工签，但您仍有必要自己申请桥梁工签以确保您的工作和居留权益。
另外，您提到您已收到EE邀请并提交了申请。这意味着您正在申请加拿大永久居民身份。在进行EE申请的过程中，即使您的工签过期，只要您的EE申请正在进行中，您仍然可以合法地留在加拿大。然而，如果您的EE申请已经被批准，并且您已经获得PR签证，那么您无需再申请桥梁工签，因为您已经有了永久居民身份。
需要注意的是，以上信息是基于常规情况给出的建议，具体情况可能有所不同。建议您在提交桥梁工签申请之前，与加拿大边境服务局或移民局进行咨询以确认最新政策和要求。